Théorème de la base incomplète :
Soit \(E\) une famille de dimension finie et \(E\neq\{0_E\}\)
Soit \(\mathcal F=\{u_1,\ldots,u_p\}\) un système libre
Soit \(\mathcal G=\{v_1,\ldots,v_q\}\) un système générateur de \(E\)
Alors...
1. \(p\leqslant q\)
2. Si \(\mathcal F\) est une base de \(E\), alors il existe \(r\) vecteurs \(v_{i_1},\ldots,v_{i_r}\) tels que \(B=\{u_1,\ldots,u_p,v_{i_1},\ldots,v_{i_r}\}\) est une base de \(E\) (avec \(r\leqslant q-p\))
(Famille génératrice, Famille libre - Famille linéairement indépendante, Base)
Corollaire du théorème de la base incomplète :
Toute base \(\mathcal B=\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}\) d'un espace vectoriel de dimension finie a le même nombre d'éléments
Ce nombre s'appelle la Dimension de \(E\) $$n=\operatorname{dim}E$$
Preuve : $$\begin{align}&\text{soit }\mathcal B'=\{v_1,\ldots,v_m\}\text{ une autre base de }E\\ &\begin{cases}\mathcal B'\text{ est une famille libre}\implies m\leqslant n\\ \mathcal B'\text{ est une famille génératrice}\implies n\leqslant l=m\end{cases}\implies m=n \end{align}$$
Corollaire :
Tout espace vectoriel de dimension finie possède une Base
Démonstration : $$\begin{align}&E=\operatorname{Vect}(v_1,\ldots,v_q)\neq\{0_E\}\\ &\text{donc }v_i\neq0\implies \{v_i\}\text{ est libre}\\ &\text{on peut compléter }\{v_i\}\text{ à une base}\end{align}$$
Corollaire :
Soit \(\mathcal B=\{u_1,\ldots,u_n\}\) une base de \(E\)
- Pour toute famille libre, \(\mathcal F=\{v_1,\ldots,v_p\}\) avec \(p\leqslant n\)
- Pour toute famille génératrice \(\mathcal G=\{v_1,\ldots,v_q\}\) avec \(q\geqslant n\)